数学研究生(包括硕博)在大家眼中可能是比较神秘的一个集体，尤其是学基础数学，也就是纯数学方向的学生。本科生的数学课程很多人大概都有个了解，但研究生阶段的数学课程可能对不是圈子里的大众来说，还是并不广为人知的，那么(基础)数学研究生到底要上些什么课，学些什么内容呢？

国内高校基础数学系越来越倾向于招收硕博连读生和直博生，尤其是那些最好的数学系，以中科院数学所为例，名义上数学所的所有基础数学专业只收硕博连读和直博，而且大部分学生的来源是保研。而像北大的这种国内顶尖基础数学系，绝大部分研究生也是来自于保研，每年通过考研来的基础数学研究生基本上只有一两个。所以有志于在国内读数学研究生的同学还是要早作打算为好。

研究生的第一年基本都是上课，除去专业所需的课程外，其他课程的选择还是相对比较自由的。到了研究生阶段，数学研究方向分得特别细，例如有代数几何，代数数论，代数拓扑，非线性分析，调和分析偏微分方程，几何分析等等，学习什么方向这完全决定于你的导师。
当然，研究生的数学课程也有类似于本科那种必修课，这方面可能不同的学校有不同的规定，以数学所为例，学生自由选择数学基础课作为“专业学位课”，而这个“专业学位课”大概就是必修课的意思，必需要达到一定的学分才能毕业，不过学生有选择的自由，当然，这些都只能在前半学期决定，后期是不能更改的。
这一时期的数学基础课有：偏微分方程，微分流形，泛函分析，实分析，复分析，调和分析，李群，代数，交换代数，同调代数，李代数，代数拓扑，代数几何，黎曼曲面，黎曼几何等等。关于这些课程，有非常著名的GTM（Graduate Texts in Mathematics）研究生数学教材系列，我们当时的大部分课的教材都是GTM的。

看到这，可能有些同学会好奇，有些课不和本科时候一样吗？这种情况的确会出现，但大多数课只是名字一样而已，所学的课程已经远比本科时候深入。比如偏微分方程，数学系本科一般只会讲三种最重要的偏微分方程的特殊情形，也就是研究拉普拉斯方程，热传导方程和波动方程的一些简单的先验估计和求解，这种过程中也会接触到调和函数和格林函数等。但到了研究生阶段，我们将学习这些方程更一般的情形，而且关注的也不再是古典解，而是更一般的“弱解”，之后会导出各种各样的估计以及研究方程解的存在唯一性，这些内容和方法和本科时候学的完全不在同一等级上。

对于一些条件好的数学系而言，它们会为高年级本科生安排许多选修课，所以确实会有一些本科生已经学过一些研究生数学，比如交换代数和黎曼几何等，一般985的数学系都会给本科生开这些选修课，其中一些课直接就是本研合上的。而实际上，那些学得好的数学本科生水平绝对不会比研究生差，这些基础扎实的本科生在本科阶段学了研究生的数学之后，其中一些完全已经达到了研究生的知识水平。
到了博士阶段，需要上的基础课实际上已经很少，但一些数学系可能还是会有所要求，例如数学所要求博士必须在代数几何、代数数论、代数拓扑、偏微分方程、李理论、调和分析这六门基础课中选修四门并且考试合格，否则将无法取得学位。对于硕博连读和直博的学生而言，他们完全可以在二年级或三年级时就完成这些课程，所以经常会出现本硕博三种学生同时上一门课的“盛况”。

除去这些基础课外，最重要的莫过于讨论课，这些“课程”往往并不是真正需要上的课，而是大家一起交流讨论的平台，一般由同一导师的学生或者专业相关的同学组成，而讨论的内容大多由导师给定，可能是某一本书，也可能是某一篇论文，或者干脆就是某一个没有被解决的难题。相对于基础课而言，讨论课具有更强的专业性，往往和自己研究的方向直接相关，同时也可以检验一下自己理解数学的情况，在这种大家共同探讨的情形下，自己到底懂不懂立马就可以被识别出来，所以想蒙混过关几乎是不可能的。

对于研究生而言，大部分时间实际上处于自学状态，有了数学基础之后，一些更为专门的知识完全可以通过查阅相关资料和自我思考来掌握。到了这种阶段，老师已经不可能像对本科生那样耳提面命，更多地是要锻炼自己学习和研究的能力。给你一本书或者一篇论文，如果脱离老师的指导就束手无策，那么这样的研究生肯定是不合格的。

总结

总的来说，基础数学的研究生所需学的内容还是非常多的，而且这和具体的学习方向也是息息相关的。相较于本科阶段而言，研究生阶段的学习内容更为专门和艰深，而且学习的来源也不在局限于教科书。更为重要的是，研究生阶段的学习是为了今后可以独立开展研究活动而做准备，所以自学能力一定要锻炼出来，切不可满足于死记硬背拿高分，这对自身的能力培养是百害而无一利的。
从学习过渡到研究，这是需要在研究生阶段完成的转变。